Question

15．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E在AB边上，点F在BC边上，
（Ⅰ）若点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′．求证：A′D⊥EF．
（Ⅱ）当BE=BF=$\frac{1}{4}$BC时，求三棱锥A′-EFD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题设条件知：A'D⊥A'E，A'D⊥A'F，A'E∩A'F=A'，由此能够证明A'D⊥面A'EF，从而得到A'D⊥EF；
（Ⅱ）由题意求得A′F=A′E=$\frac{3}{2}$，EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，进一步求出△A′EF的面积，又A′D是三棱锥D-A′EF的高线，可以算出三棱锥D-A′EF的体积，即为三棱锥A′-DEF的体积．

解答 （Ⅰ）证明：∵边长为2的正方形ABCD中，E、F是AB、BC的中点，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使AC两点重合于点A′，
∴A'D⊥A'E，A'D⊥A'F，A'E∩A'F=A'，
∴A'D⊥面A'EF，
∵EF?面A'EF，∴A'D⊥EF；
 
（Ⅱ）解：∵BE=BF=$\frac{1}{4}$BC=$\frac{1}{2}$，∴A′F=A′E=$\frac{3}{2}$，EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
在△A′EF中，可得A′G=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{4}）^{2}}=\frac{\sqrt{34}}{4}$，
∴△A′EF的面积为${S}_{△A′EF}=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{34}}{4}=\frac{\sqrt{17}}{8}$，
∵A′D⊥平面A′EF．
∴A′D是三棱锥D-A′EF的底面A′EF上的高线，
因此，三棱锥A′-DEF的体积为：${V}_{A′-DEF}=\frac{1}{3}•{S}_{△A′EF}•A′D$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{17}}{8}×2=\frac{\sqrt{17}}{12}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，注意翻折变换中数量关系的变化，合理地进行等价转化，是中档题．