【题目】
(1)讨论函数 的单调性,并证明当
>0时,
(2)证明:当 时,函数
有最小值.设g(x)的最小值为
,求函数
的值域.
【答案】
(1)
证明:
∵当
时,
∴ 在
上单调递增
∴ 时,
∴
(2)
解:
由(1)知,当 时,
的值域为
,只有一解.
使得 ,
当 时
,
单调减;当
时
,
单调增
记 ,在
时,
,∴
单调递增
∴
【解析】从导数作为切入点探求函数的单调性,通过函数单调性来求得函数的值域,利用复合函数的求导公式进行求导,然后逐步分析即可.
【考点精析】掌握简单复合函数的导数和利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本,需要知道复合函数求导:和
,称则
可以表示成为
的函数,即
为一个复合函数
;一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间
内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减.
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【题目】已知函数f(x)= sinωx﹣
cosωx(ω>0),将函数y=|f(x)|的图象向左平移
个单位长度后关于y轴对称,则当ω取最小值时,g(x)=cos(ωx+
)的单调递减区间为( )
A.[﹣ +
,
+
](k∈Z)
B.[﹣ +
,
+
](k∈Z)
C.[﹣ +
,
+
](k∈Z)
D.[﹣ +
,
+
](k∈Z)
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【题目】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图. 图中A点表示十月的平均最高气温约为,B点表示四月的平均最低气温约为
. 下面叙述不正确的是 ( )
A. 各月的平均最低气温都在以上
B. 七月的平均温差比一月的平均温差大
C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同
D. 平均最高气温高于的月份有5个
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【题目】某公司生产甲、乙两种桶装产品,已知生产甲产品1桶需耗原料2千克,
原料3千克;生产乙产品1桶需耗
原料2千克,
原料1千克,每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元,公司在要求每天消耗
原料都不超过12千克的条件下,生产产品
、产品
的利润之和的最大值为( )
A. 1800元 B. 2100元 C. 2400元 D. 2700元
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【题目】已知是数列
的前n项和,并且
,对任意正整数n,
;设
.
(Ⅰ) 证明:数列是等比数列,并求
的通项公式;
(Ⅱ) 设,求证: 数列
不可能为等比数列。
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【题目】袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( )
A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C.乙盒中红球不多于丙盒中红球
D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
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【题目】判断下列两圆的位置关系.
(1)C1:x2+y2-2x-3=0,C2:x2+y2-4x+2y+3=0;___________
(2)C1:x2+y2-2y=0,C2:x2+y2-2x-6=0;___________
(3)C1:x2+y2-4x-6y+9=0,C2:x2+y2+12x+6y-19=0;___________
(4)C1:x2+y2+2x-2y-2=0,C2:x2+y2-4x-6y-3=0.___________
(5)x2+y2=9和x2+y2-8x+6y+9=0 ________________
(6)圆C1:x2+y2-2x-6y-6=0与圆C2:x2+y2-4x+2y+4=0______
(7)圆x2+y2+6x-7=0和圆x2+y2+6y-27=0 ____________
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【题目】设数列A: ,
,…
(N≥2)。如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有
<
,则称n是数列A的一个“G时刻”。记“G(A)是数列A 的所有“G时刻”组成的集合。
(1)对数列A:-2,2,-1,1,3,写出G(A)的所有元素;
(2)证明:若数列A中存在 使得
>
,则G(A)
;
(3)证明:若数列A满足 -
≤1(n=2,3, …,N),则GA.的元素个数不小于
-
。
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【题目】漳州市博物馆为了保护一件珍贵文物,需要在馆内一种透明又密封的长方体玻璃保护罩内充入保护液体.该博物馆需要支付的总费用由两部分组成:①罩内该种液体的体积比保护罩的容积少0.5立方米,且每立方米液体费用500元;②需支付一定的保险费用,且支付的保险费用与保护罩容积成反比,当容积为2立方米时,支付的保险费用为4000元.
(Ⅰ)求该博物馆支付总费用与保护罩容积
之间的函数关系式;
(Ⅱ)求该博物馆支付总费用的最小值.
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