Question

1．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$，一组平行直线的斜率是$\frac{3}{2}$．
（1）这组直线何时与椭圆相交？
（2）当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上．

Answer 1

分析 （1）设出平行直线的方程：y=$\frac{3}{2}$x+m，代入椭圆方程，消去y，由判别式大于0，可得m的范围；
（2）运用中点坐标公式和参数方程，消去m，即可得到所求的结论．

解答 解：（1）设一组平行直线的方程为y=$\frac{3}{2}$x+m，
代入椭圆方程，可得
9x²+4（$\frac{9}{4}$x²+3mx+m²）=36，
即为18x²+12mx+4m²-36=0，
由判别式大于0，可得
144m²-72（4m²-36）＞0，
解得-3$\sqrt{2}$＜m＜3$\sqrt{2}$，
则这组平行直线的纵截距在（-3$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$），与椭圆相交；
（2）证明：由（1）直线和椭圆方程联立，可得
18x²+12mx+4m²-36=0，
即有x₁+x₂=-$\frac{2}{3}$m，
截得弦的中点为（-$\frac{1}{3}$m，$\frac{1}{2}$m），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{3}m}\\{y=\frac{1}{2}m}\end{array}\right.$，消去m，可得y=-$\frac{3}{2}$x．
则这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线y=-$\frac{3}{2}$x上．

点评 本题考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式，以及中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．