Question

已知函数f（x）=a•4^x-2^x+1+a+3．
（1）若a=0，解方程f（2x）=-5；
（2）若a=1，求f（x）的单调区间；
（3）若存在实数x₀∈[-1，1]，使f（x₀）=4，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将a=0代入，可得指数方程，求解即可；
（2）a=1代入，再利用单调性的定义，注意分类讨论，从而确定函数的单调区间；
（3）设2^x=t，由x₀∈[-1，1]，得t∈[

1

2

，2]，且f（x）=a•4^x-2^x+1+a+3=a•t²-2t+a+3，所以存在t∈[

1

2

，2]，使得a•t²-2t+a+3=4，即a•t²-2t+a-1=0，构建函数，用函数的思想解决方程根的问题．

解答：解：（1）若a=0，由f（2x）=-5，即-2^2x+1+3=-5，
∴2^2x+1=8，∴2^2x+1=2³，
∴2x+1=3
∴x=1（2分）
（2）若a=1，则f（x）=4^x-2^x+1+4，设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）=4x2-2x2+1+4-(4x1-2x1+1+4)=(4x2-4x1)-2(2x2-2x1)=(2x2-2x1)(2x2+2x1-2)
∵2x2-2x1＞0
①当x₁，x₂∈[0，+∞）时，有2x2+2x1-2＞0，
∴(2x2-2x1)(2x2+2x1-2)＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在[0，+∞）上是增函数；
②当x₁，x₂∈（-∞，0]时，有2x2+2x1-2＜0，
∴(2x2-2x1)(2x2+2x1-2)＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在（-∞，0]上是减函数
∴f（x）的单调增区间是[0，+∞），单调减区间是（-∞，0]（7分）
（3）设2^x=t，由x₀∈[-1，1]，得t∈[

1

2

，2]，且f（x）=a•4^x-2^x+1+a+3=a•t²-2t+a+3
∴存在t∈[

1

2

，2]，使得a•t²-2t+a+3=4，即a•t²-2t+a-1=0
令g（t）=a•t²-2t+a-1，
若a=0，由f（x₀）=4，无解．
若a≠0，则函数g（t）的对称轴是t=

1

a

由已知得方程g（t）=0在t∈[

1

2

，2]上有实数解
∴g(

1

2

)g(2)≤0或

a＞0 1 2 ≤ 1 a ≤2 △≥0 g( 1 2 )≥0 g(2)≥0

∴(

5

4

a-2)(5a-5)≤0或

a＞0 1 2 ≤ 1 a ≤2 1- 5 2 ≤ a≥ 8 5 a≥1

a≤

1+ 5

2

∴1≤a≤

8

5

或

8

5

≤a≤

1+ 5

2

∴实数a的取值范围为[1，

1+ 5

2

]．

点评：本题以指数函数为载体，考查指数方程，考查函数的单调性，同时考查存在性问题，解题时应注意正确分类．