Question

12．已知f（n）=ncos$\frac{2nπ}{3}$，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）=1008．

Answer 1

分析 由题意可得f（1）+f（2）+f（3）=f（4）+f（5）+f（6）=f（7）+f（8）+f（9）=…=$\frac{3}{2}$，再结合2016=672×3，求得要求式子的值．

解答 解：对于函数f（n）=ncos$\frac{2nπ}{3}$，∵函数y=cos$\frac{2nπ}{3}$的周期为$\frac{2π}{\frac{2π}{3}}$=3，
f（1）=-$\frac{1}{2}$，f（2）=-1，f（3）=3，f（4）=-2，f（5）=-$\frac{5}{2}$，f（6）=6，f（7）=-$\frac{7}{2}$，f（8）=-4，f（9）=9，…
可得f（1）+f（2）+f（3）=f（4）+f（5）+f（6）=f（7）+f（8）+f（9）=…=$\frac{3}{2}$，
2016=672×3，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）=672×$\frac{3}{2}$=1008，
故答案为：1008．

点评 本题主要考查数列的求和，解决本题的关键在于求出数列各项的规律，属于中档题．