Question

已知两个非零向量

a

=（m-1，n-1）和

b

=（m-3，n-3），若cos＜

a

，

b

＞=0，则m+n的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：两个非零向量满足cos＜

a

，

b

＞=0，可得

a

⊥

b

，于是

a

•

b

=0，可得（m-2）²+（n-2）²=2．设m+n=t，化为m=-n+t．联立化为2n²-2tn+6-4t+t²=0．令△≥0，即可解出．

解答： 解：∵两个非零向量满足cos＜

a

，

b

＞=0，
∴

a

⊥

b

，
∴

a

•

b

=（m-1）（m-3）+（n-1）（n-3）=0，
（m-2）²+（n-2）²=2．
设m+n=t，化为m=-n+t．
联立

m=-n+t (m-2)2+(n-2)2=2

，
化为2n²-2tn+6-4t+t²=0．
令△≥0，
∴4t²-8（6-4t+t²）≥0，
化为t²-8t+12≤0，解得2≤t≤6．
∴m+n的取值范围是[2，6]．
故答案为：[2，6]．

点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系、一元二次方程有实数根与判别式的关系，考查了推理能力和计算能力，属于难题．