Question

【题目】已知函数，，其中为常数，是自然对数的底数.

（1）设，若函数在区间上有极值点，求实数的取值范围；

（2）证明：当时，恒成立.

Answer 1

【答案】(1)；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：（1），则，若在上有极值点，则在上有变号零点，设研究单调性使得函数和x轴有两个交点即可；（2）要证成立，，

分别求得左式的最大值和右式的最小值，证得最大值小于最小值即可.

解析：

（1）由题意，，则，

由题意，若在上有极值点，

则在上有变号零点.

令，即，

设，，

故，

则，，，，

又，，

，

即.

故若函数在上有极值点，

只需

则，

所以的取值范围为.

（2）由题意，知要证成立.

设，，

则，

当时，，

当时，，

所以当时，取得最大值.

所以.

设，，

则，

因为，则，

故在区间内单调递增，

故，即.

所以，

故.

综上，当时，.

命题得证.