Question

若关于x的二次函数y=x²-3mx+3的图象与端点为A(

1

2

，

5

2

)、B（3，5）的线段（包括端点）只有一个公共点，则m不可能为（　　）

• A、

  1

  3

• B、

  1

  2

• C、

  5

  9

• D、

  7

  9

Answer 1

考点：函数的零点

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由于二次函数的图象与端点为A，B的线段只有一个交点，可得x²-3mx-x+1=0在[

1

2

，3]上有且仅有一个解，从而3m+1=x+

1

x

在[

1

2

，3]上只有一个交点，结合函数的性质可求

解答： 解：∵设直线AB过点（

1

2

，

5

2

）和（3，5），
∴设直线AB的解析式为：y=kx+b，将两点代入解析式得：

1 2 k+b= 5 2 3k+b=5

解得：k=1，b=2
故AB直线方程为：y=x+2
根据y=x+2与y=x²-3mx+3在[

1

2

，3]上有且仅有一个交点，
故x²-（3m+1）x+1=0在[

1

2

，3]上有且仅有一个解，
∴当m=

1

3

时，x²-2x+1=0有唯一解x=1，满足条件；
当m=

1

2

时，x2-

5

2

x+1=0在[

1

2

，3]上有两个解x1=

1

2

，x2=2，不满足条件；
当m=

5

9

时，x2-

8

3

x+1=0[

1

2

，3]上有一个解x=3，满足条件；
当m=

7

9

时，x2-

10

3

x+1=0在[

1

2

，3]上有一个解x=3，满足条件．
故选：B．

点评：本题考查了二次函数的性质，是中档题，解题时要认真审题，注意函数的性质的合理运用．