Question

9．已知平面内两点A（8，-6），B（2，2）．
（Ⅰ）求AB的中垂线方程；
（Ⅱ）求过P（-2，0）点且到点B（2，2）的距离为4的直线l的方程；
（Ⅲ）一束光线从B点射向直线m：x+y+1=0，若反射光线过点A，求反射光线l₁和入射光线l₂所在的直线方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出AB的斜率和AB的中点，从而求得AB的中垂线方程．
（Ⅱ）分斜率存在和斜率不存在两种情况，利用点到直线的距离公式，分别求得直线的方程．
（Ⅲ）由题意可得点B（2，2）关于轴m：x+y+1=0的对称点N（-3，-3）在反射光线l₁上，由两点式求得反射光线l₁的方程；再联立方程组求得反射光线所在的直线和反射轴的交点H的坐标，用两点式求入射光线所在直线的方程．

解答 解：（Ⅰ）根据两点A（8，-6），B（2，2），可得K_AB=$\frac{2+6}{2-8}$=-$\frac{4}{3}$，AB的中点C（5，-2），
故AB的中垂线方程为 y+2=-$\frac{4}{3}$（x-5），即 4x+3y-14=0．
（Ⅱ）由于所求直线过P（-2，0）点且到点B（2，2）的距离为4，
当所求的直线的斜率不存在时，方程为x=-2；
当所求的直线的斜率存在时，设直线的方程为y-0=k（x+2），即 kx-y+2k=0，
由$\frac{|2k-2+2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=4，求得k=-$\frac{3}{4}$，此时，直线的方程为3x+4y+6=0．
综上可得，要求的直线方程为x=-2 或 3x+4y+6=0．
（Ⅲ）由题意可得点B（2，2）关于直线m：x+y+1=0的对称点N（-3，-3）在反射光线l₁上，
由两点式求得反射光线l₁的方程为$\frac{y+6}{-3+6}$=$\frac{x-8}{-3-8}$，即3x+11y+42=0．
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y+1=0}\\{3x+11y+42=0}\end{array}\right.$求得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{31}{8}}\\{y=-\frac{39}{8}}\end{array}\right.$，故反射点H（$\frac{31}{8}$，-$\frac{39}{8}$），
故入射光线BH，即l₂的方程为 $\frac{y+\frac{39}{8}}{2+\frac{39}{8}}$=$\frac{x-\frac{31}{8}}{2-\frac{31}{8}}$，即 11x+3y-61=0．

点评 本题主要考查反射定律的应用，用点斜式、两点式求直线的方程，求两条直线的交点，属于中档题．