Question

已知函数f（x）=x²-ax，g（x）=lnx
（1）若函数F（x）=f（x）+g（x）既有极大值，又有极小值，求实数a的取值范围；
（2）设h（x）=f（x）+g（

1+ax

2

），若对任意的a∈（1，2），总存在x∈[

1

2

，1]，使不等式h（x）＞k（1-a²）成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，由题意可得F（x）既有极大值又有极小值?方程2x²-ax+1=0有两个不等的正实数根x₁，x₂，即可求得a的取值范围；
（2）求出x∈[

1

2

，1]，h（x）_max=h（1）=1-a+ln

1+a

2

（a∈（1，2）），对任意的a∈（1，2），总存在x∈[

1

2

，1]，使不等式h（x）＞k（1-a²）成立，转化为对任意的a∈（1，2），不等式1-a+ln

1+a

2

＞k（1-a²）成立，分类讨论，即可求实数k的取值范围．

解答： 解：（1）∵F′（x）=

2x2-ax+1

x

（x＞0），
∴F（x）既有极大值又有极小值?方程2x²-ax+1=0有两个不等的正实数根x₁，x₂．
∴△=a²-8＞0，

a

4

＞0，0-0+1＞0
∴a＞2

2

；
（2）h（x）=f（x）+g（

1+ax

2

）=x²-ax+ln

1+ax

2

，
∴h′（x）=

2ax(x- a2-2 2a )

ax+1

，
∵a∈（1，2），∴

a2-2

2a

＜

1

2

，
∴x∈（

1

2

，+∞）时，h（x）是增函数，
∴x∈[

1

2

，1]，h（x）_max=h（1）=1-a+ln

1+a

2

（a∈（1，2）），
∵对任意的a∈（1，2），总存在x∈[

1

2

，1]，使不等式h（x）＞k（1-a²）成立，
∴对任意的a∈（1，2），不等式1-a+ln

1+a

2

＞k（1-a²）成立．
令φ（a）=1-a+ln

1+a

2

-k（1-a²），则φ′（a）=

a

a+1

（2ka+2k-1），
①k=0时，φ′（a）=-

a

a+1

＜0，函数单调递减，此时φ（a）＜φ（1）=0，不合题意；
②k＜0，函数在（1，2）单调递减，此时φ（a）＜φ（1）=0，不合题意；
③0＜k＜

1

2

，函数在a=

1-2k

2k

处取得最小值，不合题意；
④k≥

1

2

，函数在（1，2）单调递增，此时φ（2）＞0，符合题意；
∴k≥

1

2

．

点评：本题考查函数在某点取得极值的条件，考查利用导数研究函数的单调性，突出考查构造函数的思想，转化与分类讨论的思想，考查恒成立问题，综合性强，难度大，属于难题．