Question

18．已知点P（x，y）满足条件$\sqrt{{{（x+1）}^2}+{y^2}}+\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}=4$．
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）直线l与圆O：x²+y²=1相切，与曲线C相较于A，B两点，若$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-\frac{4}{3}$，求直线l的斜率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的定义可知P的轨迹是以（-1，0），（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆，即可求得b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）分类讨论，当直线斜率存在时，设直线l的方程，由$\frac{丨m丨}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得直线l的斜率．

解答 解：（Ⅰ）P（x，y）满足条件$\sqrt{{{（x+1）}^2}+{y^2}}+\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}=4＞2$，
所以点P的轨迹是以（-1，0），（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆，
设椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）
由c=1，$2a=4⇒b=\sqrt{{a^2}-{c^2}}=\sqrt{3}$，
∴所求点P的轨迹C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（Ⅱ）当l⊥x轴时，l：x=±1，代入曲线C的方程得$y=±\frac{3}{2}$，
不妨设$A（{-1，\;\;\frac{3}{2}}）$，$B（{-1，\;\;-\frac{3}{2}}）$，
这时$\overrightarrow{OA}\;•\;\overrightarrow{OB}=-1×（-1）+\frac{3}{2}×（{-\frac{3}{2}}）=-\frac{5}{4}≠-\frac{4}{3}$，
所以直线斜率存在．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线l的方程为y=kx+m，
由直线l与圆O：x²+y²=1相切，则$\frac{丨m丨}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，即m²=k²+1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∵直线与曲线相交，
∵直线与曲线相交，则△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）=144k²+96＞0成立，
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{3+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$，
∴$\overrightarrow{OA}\;•\;\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}$，
=$（1+{k^2}）{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}$，
=$\frac{{7{m^2}-12{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$，
=$-\frac{{5{k^2}+5}}{{3+4{k^2}}}$，
=$-\frac{4}{3}$，．则k²=3，k=±$\sqrt{3}$．
则直线l的斜率±$\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．