Question

9．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C及其准线分别交于P，Q两点，$\overrightarrow{QF}=3\overrightarrow{FP}$，则直线l的斜率为$±\sqrt{15}$．

Answer 1

分析 过P做PH⊥准线，垂足为H，由抛物线的定义及$\overrightarrow{QF}=3\overrightarrow{FP}$，则丨QP丨=4丨PH丨，即可求得tan∠QPH=$\sqrt{15}$，即可求得直线的斜率．

解答 解：过P做PH⊥准线，垂足为H，则丨PH丨=丨PF丨，
由$\overrightarrow{QF}=3\overrightarrow{FP}$，则丨QF丨=3丨FP丨=3丨PH丨，
则丨QP丨=4丨PH丨，
则cos∠QPH=$\frac{丨PH丨}{丨QP丨}$=$\frac{1}{4}$，
则tan∠QPH=$\sqrt{15}$，
∴直线的斜率k=±$\sqrt{15}$，
故答案为：$±\sqrt{15}$．

点评 本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查向量共线定理，考查数形结合思想，属于中档题．