Question

17．平面上，点A、C为射线PM上的两点，点B、D为射线PN上的两点，则有$\frac{{{S_{△PAB}}}}{{{S_{△PCD}}}}=\frac{PA•PB}{PC•PD}$（其中S_△PAB、S_△PCD分别为△PAB、△PCD的面积）；空间中，点A、C为射线PM上的两点，点B、D为射线PN上的两点，点E、F为射线PL上的两点，则有$\frac{{{V_{P-ABE}}}}{{{V_{P-CDF}}}}$=$\frac{PA•PB•PE}{PC•PD•PF}$（其中V_P-ABE、V_P-CDF分别为四面体P-ABE、P-CDF的体积）．

Answer 1

分析 设PM与平面PDF所成的角为α，则两棱锥的高的比为$\frac{PA}{PC}$，底面积比为$\frac{PB•PE}{PD•PF}$，根据棱锥的体积公式即可得出体积比．

解答 解：设PM与平面PDF所成的角为α，
则A到平面PDF的距离h₁=PAsinα，C到平面PDF的距离h₂=PCsinα，
∴V_P-ABE=V_A-PBE=$\frac{1}{3}{S}_{△PBE}•{h}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×PB×PE×sin∠NPL×PAsinα$，
V_P-CDF=V_C-PDF=$\frac{1}{3}{S}_{△PDF}•{h}_{2}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×PD×PF×sin∠NPL×PCsinα$，
∴$\frac{{V}_{P-ABE}}{{V}_{P-CDF}}$=$\frac{PA•PB•PE}{PC•PD•PF}$．
故答案为：$\frac{PA•PB•PE}{PC•PD•PF}$．

点评 本题考查了棱锥的结构特征和体积计算，属于中档题．