Question

6．已知函数$f（x）=lnx-{x^2}+f'（\frac{1}{2}）•\frac{x+2}{2}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）证明：$（\frac{1}{2}{x^2}+x+1）f（x）＜2{e^x}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数f（x）的定义域为（0，+∞），$f'（x）=\frac{1}{x}-2x+\frac{1}{2}f'（{\frac{1}{2}}）$，通过解$f'（{\frac{1}{2}}）=2$，判断导函数的符号，求解函数f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）．
（Ⅱ）不等式$（\frac{1}{2}{x^2}+x+1）f（x）＜2{{e}^x}$等价于$f（x）＜\frac{{2{{e}^x}}}{{\frac{1}{2}{x^2}+x+1}}$，由（Ⅰ）f（x）在（0，+∞）上的最大值为f（x）_max=f（1）=2，推出f（x）≤2，令$g（x）={{e}^x}-（\frac{1}{2}{x^2}+x+1）\;\;\;（x＞0）$，利用导函数的单调性以及最值推出$\frac{{{{e}^x}}}{{\frac{1}{2}{x^2}+x+1}}＞1$，证明结论即可．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），$f'（x）=\frac{1}{x}-2x+\frac{1}{2}f'（{\frac{1}{2}}）$
则$f'（{\frac{1}{2}}）=2-1+\frac{1}{2}f'（{\frac{1}{2}}）$，解得$f'（{\frac{1}{2}}）=2$，所以f（x）=lnx-x²+x+2．此时，$f'（x）=\frac{1}{x}-2x+1=\frac{{-2{x^2}+x+1}}{x}$，由f'（x）＞0得0＜x＜1，f'（x）＜0得 x＞1，
所以函数f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）．
（Ⅱ）证明：不等式$（\frac{1}{2}{x^2}+x+1）f（x）＜2{{e}^x}$等价于$f（x）＜\frac{{2{{e}^x}}}{{\frac{1}{2}{x^2}+x+1}}$，
由（Ⅰ）f（x）在（0，+∞）上的最大值为f（x）_max=f（1）=2，
所以f（x）≤2①，
令$g（x）={{e}^x}-（\frac{1}{2}{x^2}+x+1）\;\;\;（x＞0）$，所以g'（x）=e^x-x-1，（g'（x））′=e^x-1，所以，
当x＞0时，（g'（x））′＞0，
所以g'（x）在（0，+∞）上单调递增，所以g'（x）＞g'（0）=0，
所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以g（x）＞g（0）=0，即${{e}^x}-（\frac{1}{2}{x^2}+x+1）＞0$，
因为x＞0，所以$\frac{{{{e}^x}}}{{\frac{1}{2}{x^2}+x+1}}＞1$，
所以，x＞0时，$（\frac{1}{2}{x^2}+x+1）f（x）＜2{{e}^x}$．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．