Question

10．如图，AA₁、BB₁为圆柱OO₁的母线，BC是底面圆O的直径，D、E分别是AA₁、CB₁的中点，BA=2，AC=1，B₁C=3
（1）证明：DE∥平面ABC；
（2）求圆柱OO₁的体积和表面积．

Answer 1

分析 （1）连结EO、OA，由圆柱的性质得四边形AA₁B₁B是平行四边形，所以DA∥BB₁且DA=$\frac{1}{2}$BB₁．△B₁BC中利用中位线定理，得到EO∥BB₁且EO=$\frac{1}{2}$BB₁，从而证出四边形AOED是平行四边形，得DE∥OA，结合线面平行的判定定理即可证出DE∥面ABC；
（2）根据BA=2，AC=1，B₁C=3，BC是底面圆O的直径，求出BC=$\sqrt{5}$，B₁B=2，即可求圆柱OO₁的体积和表面积．

解答 （1）证明：连结EO、OA，
∵E、O分别为B₁C、BC的中点，∴EO∥BB₁，EO=$\frac{1}{2}$BB₁
又∵AA₁、BB₁为圆柱OO₁的母线，
∴AA₁∥BB₁、AA₁=BB₁，可得四边形AA₁B₁B是平行四边形，
∵平行四边形AA₁B₁B中，DA∥BB₁，DA=$\frac{1}{2}$BB₁，
∴DA∥EO，且DA=EO
四边形AOED是平行四边形，可得DE∥OA
∵DE?面ABC，OA?面ABC，∴DE∥面ABC；…（4分）
（2）解：∵BA=2，AC=1，B₁C=3，BC是底面圆O的直径，
∴BC=$\sqrt{5}$，B₁B=2，
∴圆柱OO₁的体积=$π•（\frac{\sqrt{5}}{2}）^{2}•2$=$\frac{5π}{2}$，表面积S=$π•（\frac{\sqrt{5}}{2}）^{2}•2$+$π•\sqrt{5}•2$=$\frac{5π}{2}$+2$\sqrt{5}$π．

点评 本题在圆柱体中求证线面平行，并求圆柱OO₁的体积和表面积．着重考查了线面平行的判定定理、柱体体积公式等知识，属于中档题．