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已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=与x=1时都取得极值.
(1)求a、b的值与函数f(x)的单调区间;
(2)若对,不等式f(x)<c2恒成立,求c的取值范围.
(1)递增区间是(-¥,-)与(1,+¥),递减区间是(-,1);
(2)c<-1或c>2.
本试题主要考查了导数在函数中的运用。
解:(1)f(x)x3+ax2+bx+c,f¢(x)3x2+2ax+b
f¢,f¢(1)=3+2a+b0a,b-2
f¢(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),函数f(x)的单调区间如下表:
x
(-¥,-

(-,1)
1
(1,+¥)
f¢(x)

0

0

f(x)
­
极大值
¯
极小值
­
所以函数f(x)的递增区间是(-¥,-)与(1,+¥),递减区间是(-,1)
(2)f(x)=x3x2-2x+c,xÎ〔-1,2〕,当x=-时,f(x)+c
为极大值,而f(2)=2+c,则f(2)=2+c为最大值。要使f(x)<c2(xÎ〔-1,2〕)恒成立,只需c2>f(2)=2+c,解得c<-1或c>2
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