Question

8．设[x]表示不超过x的最大整数，如[4.3]=4，[-4，3]=-5．化简：$\frac{1}{[\sqrt{1×2}]×[\sqrt{2×3}]×[\sqrt{3×4}]}$+$\frac{1}{[\sqrt{2×3}]×[\sqrt{3×4}]×[\sqrt{4×5}]}$+…+$\frac{1}{[\sqrt{n×（n+1）}]×[\sqrt{（n+1）×（n+2）}]×[\sqrt{（n+2）×（n+3）}]}$（结果用n表示，其中n是大于0的整数）．

Answer 1

分析 利用设[x]表示不超过x的最大整数，依次化简个根式，然后利用裂项相消法即可得结论．

解答 解：由题意，[x]表示不超过x的最大整数，设n为正整数，则$n＜\sqrt{n（{n+1}）}＜n+1$，于是，$[{\sqrt{n（{n+1}）}}]=n$，
∴$\frac{1}{{[\sqrt{n×（n+1）}]×[\sqrt{（n+1）×（n+2）}]×[\sqrt{（n+2）×（n+3）}]}}=\frac{1}{n×（n+1）×（n+2）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n×（n+1）}-\frac{1}{（n+1）×（n+2）}）$，
∴原式=$\frac{1}{2}（\frac{1}{1×2}-\frac{1}{2×3}+\frac{1}{2×3}-\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n×（n+1）}-\frac{1}{（n+1）×（n+2）}）$
=$\frac{1}{4}-\frac{1}{2（n+1）×（n+2）}$．

点评 本题考查了对定义的理解和裂项相消法的计算．属于中档题．