Question

10．函数f（x），x∈R满足如下性质：①f（x）+f（-x）=0；②f（$\frac{3}{4}$+x）=f（$\frac{3}{4}$-x），若f（1）=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，f（2）=sinα（α∈（0，$\frac{π}{2}$）），则sin（$\frac{π}{4}$+α）=（　　）

• A． 0
• B． $\frac{\sqrt{10}}{10}$
• C． $\frac{2\sqrt{10}}{10}$
• D． $\frac{3\sqrt{10}}{10}$

Answer 1

分析 推导出f（x+3）=-f（x+$\frac{3}{2}$）=f（x），由f（1）=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，得f（2）=f（-1）=-f（1），由此能求出结果．

解答 解：∵函数f（x），x∈R，满足如下性质：
f（x）+f（-x）=0，f（$\frac{3}{4}$+x）=f（$\frac{3}{4}$-x），
∴f（x+3）=-f（x+$\frac{3}{2}$）=f（x），
∵f（1）=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
f（2）=f（-1）=-f（1）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故sinα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，（α∈（0，$\frac{π}{2}$）），
故cosα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
则sin（$\frac{π}{4}$+α）=sin$\frac{π}{4}$cosα+cos$\frac{π}{4}$sinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{3\sqrt{5}}{5}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
故选：D．

点评 本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．