Question

15．已知f（x）=ax³+bx²+c的图象经过点（0，1），且在x=1处的切线方程是y=x
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）的极值．

Answer 1

分析 （1）求出c的值，求出函数的导数，计算f′（1），得到关于a，b的方程组，求出函数的解析式即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．

解答 解：（1）f（x）=ax³+bx²+c的图象经过点（0，1），则c=1，…（2分）
f′（x）=3ax²+2bx，k=f′（1）=3a+2b=1…（3分）
切点为（1，1），则f（x）=ax³+bx²+c的图象经过点（1，1）
得a+b+c=1，得a=1，b=-1…（5分），
故f（x）=x³-x²+1…（6分）
（2）${f^'}（x）=3{x^2}-2x＞0，得x＞\frac{2}{3}，x＜0$，
令${f^'}（x）=3{x^2}-2x＜0，得0＜x＜\frac{2}{3}$…（8分）
函数f（x）在$（{-∞，0}），（{\frac{2}{3}，+∞}）$单调递增，在$（{0，\frac{2}{3}}）$单调递减           …（9分）
所以函数f（x）在x=0取得极大值为1，在$x=\frac{2}{3}$取得极小值为$\frac{23}{27}$．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．