Question

4．如图为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD的各边的AB=5，BC=8，CD=3，DA=5长度（单位：km）：，如图所示，若A、B、C、D四点共圆．
求：线段AC的长和△ABC的面积．

Answer 1

分析 利用余弦定理，结合∠B+∠D=π，即可求出AC的长，再用余弦定理即可求出B的大小，根据三角形的面积公式即可求出答案

解答 解：∵A、B、C、D四点共圆，圆内接四边形的对角和为π．
∴∠B+∠D=π，
∴由余弦定理可得AC²=5²+3²-2•5•3•cosD=34-30cosD，
AC²=5²+8²-2•5•8•cosB=89-80cosB，
∵∠B+∠D=π，即cosB=-cosD，
∴-$\frac{34-A{C}^{2}}{30}$=$\frac{89-A{C}^{2}}{80}$，
∴可解得AC=7．
由余弦定理可得cosB=$\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2AB•BC}$=$\frac{25+64-49}{2×5×8}$=$\frac{1}{2}$，
∴B=60°，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•BC•|$\overrightarrow{AB}$|•sinB=$\frac{1}{2}$×8×5×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=10$\sqrt{3}$．

点评 本题考查余弦定理，考查三角函数知识，正确运用余弦定理是关键，属于中档题