Question

3．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁、F₂，过F₂的直线与椭圆交于A、B两点，若△F₁AB是等边三角形，则离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 △F₁AB是等边三角形，由椭圆与等边三角形的对称性可得：AB⊥x轴．$\sqrt{3}$×$\frac{{b}^{2}}{a}$=2c，化简解出即可得出．

解答 解：∵△F₁AB是等边三角形，由椭圆与等边三角形的对称性可得：AB⊥x轴．
∴$\sqrt{3}$×$\frac{{b}^{2}}{a}$=2c，可得$\sqrt{3}$（a²-c²）=2ac，化为$\sqrt{3}$e²+2e-$\sqrt{3}$=0，0＜e＜1．
解得e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．