Question

8．如果不等式$\sqrt{x+a}$≥x的解集在数轴上构成长度为2a的区间，则a的值为$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由题意得x²-x-a≤0，设方程x²-x-a=0的两个根为：x₁，x₂，结合|x₁-x₂|=2a，得到4a²-4a-1=0，解出a的值即可．

解答 解：由不等式$\sqrt{x+a}$≥x，可得：x²-x-a≤0，
设方程x²-x-a=0的两个根为：x₁，x₂，∴x₁+x₂=1，x₁•x₂=-a．
∵|x₁-x₂|=2a＞0，∴（x₁+x₂）²-4x₁ x₂=4a²，
∴4a²-4a-1=0，解得：a=$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，或a=$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$（舍去），
故答案为：$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查了解不等式问题，考查了一元二次方程的根与系数的关系，是一道中档题．