Question

3．已知椭圆${C_1}：\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$的左右焦点分别为F₁，F₂，直线l₁过点F₁，且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直l₁于点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M．
（1）求点M的轨迹C₂的方程；
（2）若AC、BD为椭圆C₁的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F₂，求四边形ABCD的面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）求得椭圆的焦点坐标，连接MF₂，由垂直平分线的性质可得|MP|=|MF₂|，运用抛物线的定义，即可得到所求轨迹方程；
（2）分类讨论：当AC或BD中的一条与x轴垂直而另一条与x轴重合时，此时四边形ABCD面积S=2b²．当直线AC和BD的斜率都存在时，不妨设直线AC的方程为y=k（x-2），则直线BD的方程为y=-$\frac{1}{k}$（x-2）．分别与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式可得|AC|，|BD|．利用四边形ABCD面积S═$\frac{1}{2}$|AC|•|BD|即可得到关于斜率k的式子，再利用配方和二次函数的最值求法，即可得出．

解答 解：（1）椭圆${C_1}：\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$
的焦点F₁（-2，0），F₂（2，0），
连接MF₂，
由垂直平分线的性质可得|MP|=|MF₂|，
由抛物线的定义，
可得M的轨迹为以F₂为焦点，l₁为准线的抛物线，
即有方程为y²=8x；
（2）由椭圆$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1可得a²=8，b²=4，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=2．
①当AC或BD中的一条与x轴垂直而另一条与x轴重合时，
此时四边形ABCD面积S=$\frac{1}{2}$•2a•$\frac{2{b}^{2}}{a}$=2b²=8．
②当直线AC和BD的斜率都存在时，不妨设直线AC的方程为y=k（x-2），
则直线CD的方程为y=-$\frac{1}{k}$（x-2）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，化为（1+2k²）x²-8k²x+8k²-8=0，
∴x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{8{k}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$．
∴|AC|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$
=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}）^{2}-\frac{32{k}^{2}-32}{1+2{k}^{2}}]}$
=$\frac{4\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$．
把k换成-$\frac{1}{k}$，可得|BD|=$\frac{4\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{2+{k}^{2}}$．
∴四边形ABCD面积S=$\frac{1}{2}$|AC|•|BD|=$\frac{1}{2}$•$\frac{4\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$•$\frac{4\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{2+{k}^{2}}$
=$\frac{16（1+{k}^{2}）^{2}}{2{k}^{4}+5{k}^{2}+2}$=$\frac{16}{-（\frac{1}{1+{k}^{2}}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{9}{4}}$，
当且仅当$\frac{1}{1+{k}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，即k²=1时，S取得最小值$\frac{16}{\frac{9}{4}}$=$\frac{64}{9}$．
综上可知：四边形ABCD面积S的最小值是$\frac{64}{9}$．

点评 本题考查抛物线的定义和方程，同时考查椭圆的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、四边形面积计算公式、二次函数的最值求法等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．