Question

记空间向量

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OC

=

c

，其中

a

，

b

，

c

均为单位向量．若

a

⊥

b

，且

c

与

a

，

b

的夹角均为θ，θ∈[0，π]．有以下结论：
①

c

⊥（

a

-

b

）；
②直线OC与平面OAB所成角等于向量

c

与

a

+

b

的夹角；
③若向量

a

+

b

所在直线与平面ABC垂直，则θ=60°；
④当θ=90°时，P为△ABC内（含边界）一动点，若向量

OP

与

a

+

b

+

c

夹角的余弦值为

6

3

，则动点P的轨迹为圆．
其中，正确的结论有

 

（写出所有正确结论的序号）．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：①

c

•（

a

-

b

）=

c

•

a

-

c

•

b

=cosθ-cosθ=0，可得

c

⊥（

a

-

b

）；
②当θ∈(

π

2

，π]时，直线OC与平面OAB所成角的补角等于向量

c

与

a

+

b

的夹角，即可判断出正误；
③向量

a

+

b

所在直线OD与平面ABC垂直于点D，又BC=AC，D为AB的中点，则CD⊥AB，可得OD⊥CD，可得AC=1=OC=OA，可得θ=60°，即可判断出正误；
④补全正方体，对角线OD与平面ABC相交于点M，点M为等边三角形的中心，可得OM=

3

3

，OP=

2

2

，MP=

6

6

．即可得出动点P的轨迹为圆，点M为圆心，MP为半径的圆．

解答： 解：①∵

c

•（

a

-

b

）=

c

•

a

-

c

•

b

=cosθ-cosθ=0，∴

c

⊥（

a

-

b

），正确；
②当θ∈[0，

π

2

]时，直线OC与平面OAB所成角等于向量

c

与

a

+

b

的夹角；当θ∈(

π

2

，π]时，直线OC与平面OAB所成角的补角等于向量

c

与

a

+

b

的夹角，因此不正确；
③向量

a

+

b

所在直线OD与平面ABC垂直于点D，又BC=AC，D为AB的中点，则CD⊥AB，∴OD⊥CD，又OD=DA=

2

2

=CD，∴AC=1=OC=OA，则θ=60°，正确；
④当θ=90°时，P为△ABC内（含边界）一动点，补全正方体，对角线OD与平面ABC相交于点M，点M为等边三角形的中心，OM=

1

3

OD=

3

3

，
∵向量

OP

与

a

+

b

+

c

（即与

OD

）的夹角的余弦值为

6

3

，∴OP=

OM

6 3

=

2

2

，∴MP=

OP2-OM2

=

6

6

．
∴动点P的轨迹为圆，点M为圆心，MP为半径的圆，因此正确．
其中，正确的结论有①③④．
故答案为：①③④．

点评：本题考查了向量的数量积运算性质、空间线面位置关系、空间角、正方体的性质，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．