Question

14．已知单位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，且$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=-$\frac{1}{2}$
（Ⅰ）求|$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$|
（Ⅱ）$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$$-\overrightarrow{a}$的夹角．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知结合$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{（\overrightarrow{a}）^{2}}$求解；
（Ⅱ）求出$|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}|$及$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）$，代入数量积求夹角公式得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1$，$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=-$\frac{1}{2}$，
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$=$\sqrt{|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$
=$\sqrt{1+1-2×\frac{1}{2}}=1$；
（Ⅱ）$|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}|=\sqrt{{\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$=$\sqrt{1+1-2×（-\frac{1}{2}）}=\sqrt{3}$．
$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-{\overrightarrow{a}}^{2}=-\frac{3}{2}$．
设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$$-\overrightarrow{a}$的夹角为θ，θ∈[0，π]，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}|}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$．
则θ=$\frac{5π}{6}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查利用数量积求向量的夹角，是中档题．