Question

6．已知数列{a_n}满足：a₁=1，$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{{{a_n}+1}}{a_n}$（n∈N^*），则数列{a_n}的通项公式为（　　）

• A． ${a_n}=\frac{1}{n}$
• B． ${a_n}=\frac{1}{n-1}$
• C． ${a_n}=\frac{n}{n+1}$
• D． ${a_n}=\frac{1}{n+1}$

Answer 1

分析 数列{a_n}满足：a₁=1，$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{{{a_n}+1}}{a_n}$（n∈N^*），可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：数列{a_n}满足：a₁=1，$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{{{a_n}+1}}{a_n}$（n∈N^*），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列，公差为1，首项为1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）=n．
则数列{a_n}的通项公式为：a_n=$\frac{1}{n}$．
故选：A．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．