Question

1．如图，梯形ABEF中，AF∥BE，AB⊥AF，且AB=BC=AD=DF=2CE=2，沿DC将梯形DCFE折起，使得平面DCFE⊥平面ABCD．
（1）证明：AC∥平面BEF；
（2）求三棱锥D-BEF的体积；
（3）求直线AF与平面BDF所求的角．

Answer 1

分析 （1）取BF的中点M，设AC与BD交点为O，连接MO，ME，推导出四边形OCEM为平行四边形，从而EM∥AC，由此能证明AC∥平面BEF．
（2）推导出BC⊥平面DEF，从而三棱锥D-BEF的体积为${V_{D-BEF}}={V_{B-DEF}}=\frac{1}{3}{S_{△DEF}}•BC$，由此能求出结果．
（3）推导出FD⊥平面ABCD，AC⊥DF，AC⊥平面BDF，连结FO，则AF与平面BDF所成角为∠AFO，由此能求出直线AF与平面BDF所求的角的大小．

解答 证明：（1）如图，取BF的中点M，设AC与BD交点为O，连接MO，ME．
由题设知，CE$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$DF，MO$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$DF，∴CE$\underset{∥}{=}$MO，
∴四边形OCEM为平行四边形，∴EM∥CO，即EM∥AC．
又AC?平面BEF，EM?平面BEF，
∴AC∥平面BEF…（4分）
解：（2）∵平面CDFE⊥平面ABCD，平面CDFE∩平面ABCD=DC，BC⊥DC，
∴BC⊥平面DEF．
∴三棱锥D-BEF的体积为：
${V_{D-BEF}}={V_{B-DEF}}=\frac{1}{3}{S_{△DEF}}•BC=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2=\frac{4}{3}$…（8分）
（3）∵平面CDFE⊥平面ABCD，平面CDFE∩平面ABCD=DC，
又FD⊥CD，∴FD⊥平面ABCD，
又AC?平面ABCD，∴AC⊥DF
又在正方形ABCD中，AC⊥BD，BD∩DF=D，∴AC⊥平面BDF，
连结FO，∵AF与平面BDF所成角为∠AFO，又AB=AD=DF=2，
∴$AO=\sqrt{2}，FO=\sqrt{6}$，$tan∠AFO=\frac{AO}{FO}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{6}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴$∠AFO=\frac{π}{6}$，
∴直线AF与平面BDF所求的角为$\frac{π}{6}$．…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．