Question

16．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，向量$\overrightarrow{a}$=（S_n，1），$\overrightarrow{b}$=（2ⁿ-1，$\frac{1}{2}$），满足条件$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设函数f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x，数列{b_n}满足条件b₁=2，f（b_n+1）=$\frac{1}{f（-3-{b}_{n}）}$，（n∈N*）
（i）求数列{b_n}的通项公式；
（ii）设c_n=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$，数列{c_n}的前n项和T_n，求证1≤T_n＜5．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，得到$\frac{1}{2}{S}_{n}={2}^{n}-1$，从而${S}_{n}={2}^{n+1}-2$，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）（i）推导出$\frac{1}{{2}^{{b}_{n+1}}}=\frac{1}{（\frac{1}{2}）^{-3-{b}_{n}}}$，从而b_n+1=b_n+3，进而{b_n}是以2为首项，3为公差的等差数列，由此能求出b_n．
（ii）由题意知${c}_{n}=\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{3n-1}{{2}^{n}}$=（3n-1）×（$\frac{1}{2}$）ⁿ，由此利用错位相减法能证明1≤T_n＜5．

解答 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，向量$\overrightarrow{a}$=（S_n，1），$\overrightarrow{b}$=（2ⁿ-1，$\frac{1}{2}$），满足条件$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}={2}^{n}-1$，∴${S}_{n}={2}^{n+1}-2$，
当n=1时，a₁=S₁=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ⁺¹-2）-（2ⁿ-2）=2ⁿ，
n=1时，a₁=2成立，
∴${a}_{n}={2}^{n}$．
（Ⅱ）（i）∵函数f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x，数列{b_n}满足条件b₁=2，f（b_n+1）=$\frac{1}{f（-3-{b}_{n}）}$，（n∈N*）
∴（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（\frac{1}{2}）^{-3-{b}_{n}}}$，∴$\frac{1}{{2}^{{b}_{n+1}}}=\frac{1}{（\frac{1}{2}）^{-3-{b}_{n}}}$，
∴$\frac{1}{{2}^{{b}_{n+1}}}=\frac{1}{{2}^{3+{b}_{n}}}$，∴b_n+1=b_n+3，
∴{b_n}是以2为首项，3为公差的等差数列，
∴b_n=3n-1．
证明：（ii）由题意知${c}_{n}=\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{3n-1}{{2}^{n}}$=（3n-1）×（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴数列{c_n}的前n项和：
T_n=2×$\frac{1}{2}+5×（\frac{1}{2}）^{2}+8×（\frac{1}{2}）^{3}$+…+（3n-4）×$（\frac{1}{2}）^{n-1}+（3n-1）×（\frac{1}{2}）^{n}$，①
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$2×（\frac{1}{2}）^{2}+5×（\frac{1}{2}）^{3}+8×（\frac{1}{2}）^{4}+…+$（3n-4）×$（\frac{1}{2}）^{n}$+（3n-1）×$（\frac{1}{2}）^{n+1}$，②
①-②，得：
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=1+3×[（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ]-（3n-1）×（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=1+3×$\frac{\frac{1}{4}[1-（\frac{1}{2}）^{n-1}]}{1-\frac{1}{2}}$-（3n-1）×（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=1+$\frac{3}{2}×$[1-（$\frac{1}{2}$）^n-1]-（3n-1）×（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
∴T_n=5-（5+3n）×（$\frac{1}{2}$）ⁿ．
∵{T_n}是增数列，∴T₁=1≤T_n＜5．

点评 本题考查数列的前n项和公式、通项公式的求法，考查数列不等式的证明，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．