Question

已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程是：（是参数).

（1）将曲线和曲线的方程转化为普通方程；

（2）若曲线与曲线相交于两点，求证；

（3）设直线交于两点，且（且为常数），过弦的中点作平行于轴的直线交曲线于点，求证：的面积是定值．

 

Answer 1

（1）；；（2）证明详见解析；（3）证明详见解析.

【解析】

试题分析：（1）先将极坐标方程转化为，后由极坐标与普通方程转化的关系式得出；由消去参数即可得到；（2）联立方程消去得到，设，根据根与系数的关系得到，进而得到，再检验即可证明；（3）联立方程，消得，进而得到，由得出，进而确定的坐标，最后计算可得结论.

（1）由极坐标方程可得

而，所以即

由消去参数得到

（2）设，联立方程并消元得：

，

（3），消得，

由（且为常数），得

，又可得中点的坐标为

所以点，，面积是定值．

考点：1.极坐标；2.参数方程；3.直线与抛物线的位置关系；4.三角形的面积计算公式.