Question

20．设集合A={x|ax²-ax+1＜0}，B={x|x≥1}，且A∩B=∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 通过讨论a的范围，结合二次函数的性质，求出不等式ax²-ax+1＜0的解集，结合A∩B=∅，求出a的范围即可．

解答 解：①a=0时，1＜0不成立，A=∅，故A∩B=∅，a=0成立，
②0＜a＜4时，对于f（x）=ax²-ax+1，△=a²-4a＜0，f（x）＞0恒成立，
故A=R，A∩B=B，不满足A∩B=∅，
③a=4时，对于f（x）=ax²-ax+1，△=a²-4a=0，f（x）≥0恒成立，
A={x|x≠$\frac{1}{2}$}，A∩B=B，不满足A∩B=∅，
④a＞4时，对于f（x）=ax²-ax+1，△=a²-4a＞0，
x₁=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4a}}{a}$，x₂=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4a}}{a}$，
不等式ax²-ax+1＜0的解集是（$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4a}}{a}$，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4a}}{a}$），而$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4a}}{a}$＞1，
故A∩B≠∅，不合题意，
⑤a＜0时，不等式ax²-ax+1＜0的解集是（-∞，$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4a}}{a}$）∪（$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4a}}{a}$，+∞），而$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4a}}{a}$＞1，
故A∩B={x|x≥$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4a}}{a}$}，A∩B≠∅，不合题意，
综上，a=0．

点评 本题考查了空集的定义，考查二次函数的性质，是一道中档题．