Question

已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边．
（Ⅰ）若如果a、b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为

3

2

，求b．
（Ⅱ）若a=ccosB，且b=csinA，试判断△ABC的形状．

Answer 1

考点：三角形的形状判断,正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）根据a、b、c成等差数列，可得2b=a+c，结合ABC的面积为

3

2

，利用余弦定理，即可求边b的长．
（Ⅱ）由三角形的三边a，b及c，利用余弦定理表示出cosB，代入已知的a=ccosB，化简可得出a²+b²=c²，利用勾股定理的逆定理即可判断出三角形为直角三角形，在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义表示出sinA，代入b=csinA，化简可得b=a，从而得到三角形ABC为等腰直角三角形．

解答： 解：（Ⅰ）因为a、b、c成等差数列，
所以2b=a+c．                         …（2分）
由S_△ABC=

1

2

acsinB=

3

2

，得ac=6．       …（4分）
又由b²=a²+c²-2ac•cosB得b²=（a+c）²-2ac-2ac•cosB
所以b²=4b²-12-6

3

b²=4+2

3

所以b=

3

+1．…（8分）
（Ⅱ）由余弦定理得：a=c•

a2+c2-b2

2ac

⇒a²+b²=c²，
所以∠C=90°，
在Rt△ABC中，sinA=

a

c

，
所以b=c•

a

c

=a，
所以△ABC是等腰直角三角形；

点评：本题考查等差数列的性质，三角形面积的计算，考查了三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理，以及特殊角的三角函数值，考查了勾股定理的逆定理，考查计算能力．