Question

已知椭圆C的方程为＝1(a>b>0)，双曲线＝1的两条渐近线为l1、l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1.又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B(如图)．

(1)当l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；

(2)当＝λ，求λ的最大值．

 

Answer 1

（1）＋y2＝1（2）－1

【解析】(1)∵双曲线的渐近线为y＝±x，两渐近线夹角为60°，又<1，∴∠POx＝30°，

即＝tan30°＝.∴a＝b.又a2＋b2＝4，∴a2＝3，b2＝1.

故椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)由已知l：y＝(x－c)，与y＝x解得P.

由＝λ，得A.

将A点坐标代入椭圆方程，得(c2＋λa2)2＋λ2a4＝(1＋λ)2a2c2.∴(e2＋λ)2＋λ2＝e2(1＋λ)2.

∴λ2＝＋3≤3－2.∴λ的最大值为－1