Question

【题目】已知三棱台ABC﹣A1B1C1中，平面BB1C1C⊥平面ABC，∠ACB=90°，BB1=CC1=B1C1=2，BC=4，AC=6
（1）求证：BC1⊥平面AA1C1C
（2）点D是B1C1的中点，求二面角A1﹣BD﹣B1的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：梯形BB1C1C中，BB1=CC1=B1C1=2，BC=4得： ，从而BC1⊥CC1，

因为平面BB1C1C⊥平面ABC，且AC⊥BC，

所以AC⊥平面BB1C1C，因此BC1⊥AC，

因为AC∩CC1=C，所以BC1⊥平面AA1C1C

（2）解：如图，以CA，CB所在直线分别为x轴，y轴，点C为原点建立空间直角坐标系，则A（6，0，0），B（0，4，0），C（0，0，0），C1（0，1， ），B1（0，3， ），D（0，2， ），A1（3，1， ），

平面BB1D的法向量 =（1，0，0），设平面AB1D的法向量为 =（x，y，z），

则 ，

令z= ，得 （ ， ），

所以所求二面角的余弦值是﹣ =﹣ ．

【解析】（1）证明BC1⊥CC1 ， BC1⊥AC，即可证明BC1⊥平面AA1C1C（2）以CA，CB所在直线分别为x轴，y轴，点C为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，即可求二面角A1﹣BD﹣B1的余弦值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．