Question

【题目】设数列{an}和{bn}的项数均为m，则将数列{an}和{bn}的距离定义为 |ai﹣bi|．
（1）给出数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；
（2）设A为满足递推关系an+1= 的所有数列{an}的集合，{bn}和{cn}为A中的两个元素，且项数均为m，若b1=2，c1=3，{bn}和{cn}的距离小于2016，求m的最大值；
（3）记S是所有7项数列{an|1≤n≤7，an=0或1}的集合，TS，且T中任何两个元素的距离大于或等于3，证明：T中的元素个数小于或等于16．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可知，数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离为1+0+5+1=7
（2）解：设a1=p，其中p≠0，且p≠±1，

由an+1= ，得a2= ，a3=﹣ ，a4= ，a5=p，

∴a1=a5，

因此A中数列的项周期性重复，且间隔4项重复一次，

所数列{bn}中，b4k﹣3=2，b4k﹣2=﹣3，b4k﹣1=﹣ ，b4k= ，k∈N*，

所以{cn}中，b4k﹣3=3，b4k﹣2=﹣2，b4k﹣1=﹣ ，b4k= ，k∈N*，

|bi﹣ci|≥ |bi﹣ci|，得项数m越大，数列{bn}和{cn}的距离越大，

由 =bi﹣ci|= ，

得 |bi﹣ci|= |bi﹣ci|= ×864=2016，

所以m＜3456时， |bi﹣ci|＜2016，

故m的最大值为3455

（3）解：证明：假设T中的元素个数大于等于17个，

因为数列{an}中，ai=0或1，

所以仅由数列前三项组成的数组（a1，a2，a3）有且仅有8个，（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，1，0），

（1，0，1），（0，1，1），（1，1，1），

那么这17个元素（即数列）之中必有三个具有相同的a1，a2，a3，

设这个数列分别为{cn}：c1，c2，c3，c4，c5，c6，c7，{dn}：d1，d2，d3，d4，d5，d6，d7，{fn}：f1，f2，f3，f4，f5，f6，f7，

其中c1=d1=f1，c2=d2=f2，c3=d3=f3，

因为这三个数列中每两个的距离大于等于3，

所以，{bn}和{cn}中，ci=di，（i=4，5，6，7）中至少有三个成立，

不妨设c4≠d4，c5≠d5，c6≠d6，

由题意，c4和d4中一个等于0，而另一个等于1，

又因为f4=0或1，

所以f4=c4和f4=d4中必有一个成立，

同理，得f5=c5和f5=d5中必有一个成立，f6=c6和f6=d6中必有一个成立，

所以“fi=ci（i=3，4，5）中至少有两个成立”或”fi=di（i=4，5，6）中至少有两个成立“中必有一个成立，

所以 |fi﹣ci|≤2和 |fi﹣di|≤2中必有一个成立．

与题意矛盾，

∴T中的元素个数小于或等于16

【解析】（1）由数列距离的定义即可求得数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；（2）由数列的递推公式，即可求得a，a3 ， a4 ， a5 ， 求得A中数列的项周期性重复，且间隔4项重复一次，求得数列{bn}和{cn}规律，可知随着项数m越大，数列{bn}和{cn}的距离越大，由 =bi﹣ci|= ，根据周期的定义，得 |bi﹣ci|= |bi﹣ci|= ×864=2016，求得m的最大值；（3）利用反证法，假设T中的元素个数大于等于17个，设出{cn}，{dn}，{fn}，最总求得 |fi﹣ci|≤2和 |fi﹣di|≤2中必有一个成立，与数列的距离大于或等于3矛盾，故可证明T中的元素个数小于或等于16．