Question

11．不等式（m²-2m-3）x²-（m-3）x-1＜0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围为（-$\frac{1}{5}$，3]．

Answer 1

分析 要分别考虑二次项系数为0和不为0两种情况，当二次项系数为0时，只要验证是否对一切x∈R成立即可；当二次项系数不为0时，主要用二次函数开口方向和判别式求出m的取值范围，最后两种情况下求并集即可．

解答 解：若m²-2m-3=0，则m=-1或m=3，
若m=-1，不等式（m²-2m-3）x²-（m-3）x-1＜0为4x-1＜o不合题意；
若m=3，不等式（m²-2m-3）x²-（m-3）x-1＜0为-1＜0对一切x∈R恒成立，所以m=3可取，
设f（x）=（m²-2m-3）x²-（m-3）x-1，
当 m²-2m-3＜0且△=[-（m-3）]²+4（m²-2m-3）＜0，解得：-$\frac{1}{5}$＜m＜3，
即-$\frac{1}{5}$＜m≤3时不等式（m²-2m-3）x²-（m-3）x-1＜0对一切x∈R恒成立，
故答案为：$（{-\frac{1}{5}，3}]$．

点评 本题主要考查二次函数恒成立问题，考虑二次项系数为0的情况容易忽略，所以也是易错题．