Question

4．已知：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂上、下顶点分别是B₁、B₂，C是B₁F₂的中点，若$\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{1}}$•$\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{2}}$=2，且$\overrightarrow{C{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{2}}$．
（1）求椭圆的方程．
（2）点M，N是椭圆上的两个动点，过M，N两点的切线交于点P，若$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=0时，求点P的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）设出F₁（-c，0），F₂（c，0），B₁（0，b），B₂（0，-b），C（$\frac{c}{2}$，$\frac{b}{2}$），运用向量数量积的坐标表示和向量垂直的条件：数量积为0，解方程可得b，c，进而得到a，即可得到椭圆方程；
（2）设P（a，b），直线y=kx+b-ka，代入椭圆方程，由直线和椭圆相切的条件：判别式为0，化简整理可得k的二次方程，由$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=0，可得k₁k₂=-1，运用韦达定理，即可得到所求轨迹方程．

解答 解：（1）由题意可得F₁（-c，0），F₂（c，0），
B₁（0，b），B₂（0，-b），C（$\frac{c}{2}$，$\frac{b}{2}$），
$\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{1}}$•$\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{2}}$=（-c，-b）•（c，-b）=-c²+b²=2，①
$\overrightarrow{C{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{2}}$，可得$\overrightarrow{C{F}_{1}}$•$\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{2}}$=0，
即有（-$\frac{3c}{2}$，-$\frac{b}{2}$）•（c，-b）=-$\frac{3}{2}$c²+$\frac{{b}^{2}}{2}$=0，②
解得c=1，b=$\sqrt{3}$，a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=2，
可得椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）设P（a，b），直线y=kx+b-ka，代入椭圆方程3x²+4y²=12，
可得（3+4k²）x²+8k（b-ka）x+4（b-ka）²-12=0，
由直线和椭圆相切，可得△=0，
即有64k²（b-ka）²-16（3+4k²）[（b-ka）²-3]=0，
化简可得（b-ka）²-3-4k²=0，
即为（a²-4）k²-2abk+b²-3=0，
由$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=0，可得k₁k₂=-1，
即有$\frac{{b}^{2}-3}{{a}^{2}-4}$=-1，可得a²+b²=7．
可得点P的轨迹方程为圆a²+b²=7．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用待定系数法和向量的坐标运算和向量的数量积的坐标表示和垂直的条件：数量积为0，考查轨迹方程的求法，注意运用直线和椭圆相切的条件：判别式为0，以及韦达定理的运用，属于中档题．