Question

15．已知△ABC中，AB=4，AC=2，${S_{△ABC}}=2\sqrt{3}$，求△ABC外接圆面积．

Answer 1

分析 根据余弦弦定理求出a，在利用正弦定理可得△ABC外接的半径，即可得外接圆面积．

解答 解：由AB=c=4，AC=b=2，
${S_{△ABC}}=2\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$bcsinA，
可得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴A=60°或120°．
由余弦弦定理：cosA=$\frac{{c}^{2}+{b}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
当A=60°，可得a=$2\sqrt{3}$．此时△ABC外接半径R=$\frac{2\sqrt{3}}{2sinA}=2$，△ABC外接圆面积S=4π．
当A=120°，可得a=$2\sqrt{7}$，此时△ABC外接半径R=$\frac{2\sqrt{7}}{2sinA}$=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$，△ABC外接圆面积S=$\frac{84}{9}$π．

点评 本题考查三角形的正余弦定理的灵活运用，考查运算能力，属于基础题．