Question

20．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB-bcosA=$\frac{1}{2}$c，则当角C的值为$\frac{π}{2}$时，tan（A-B）取最大值$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 解法一：由正弦定理化简已知可得：$sin（A-B）=\frac{1}{2}sinC$，由tan（A-B）=$\frac{sin（A-B）}{cos（A-B）}=\frac{{\frac{1}{2}sinC}}{cos（A-B）}$，可知当tan（A-B）取最大值时，必有cos（A-B）＞0，设$t=sin（A-B）=\frac{1}{2}sinC（t≤\frac{1}{2}）$，可求tan（A-B）═$\frac{t}{{\sqrt{1-{t^2}}}}=\sqrt{\frac{t^2}{{1-{t^2}}}}=\sqrt{\frac{1}{{\frac{1}{t^2}-1}}}$的最大值及C的值．
解法二：由正弦定理及三角形内角和定理化简已知可得tanA=3tanB，可得tanA＞0．tanB＞0，从而解得$tan（A-B）=\frac{tanA-tanB}{1+tanAtanB}=\frac{2tanB}{{1+3{{tan}^2}B}}=\frac{2}{{\frac{1}{tanB}+3tanB}}≤\frac{2}{{2\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，即可得解．

解答 解：解法一：由acosB-bcosA=$\frac{1}{2}$c，
得：$sinAcosB-sinBcosA=\frac{1}{2}sinC$，
即：$sin（A-B）=\frac{1}{2}sinC$，
tan（A-B）=$\frac{sin（A-B）}{cos（A-B）}=\frac{{\frac{1}{2}sinC}}{cos（A-B）}$，当tan（A-B）取最大值时，必有cos（A-B）＞0，
∴tan（A-B）═$\frac{{\frac{1}{2}sinC}}{{\sqrt{1-{{sin}^2}（A-B）}}}$，设$t=sin（A-B）=\frac{1}{2}sinC（t≤\frac{1}{2}）$，
则tan（A-B）═$\frac{t}{{\sqrt{1-{t^2}}}}=\sqrt{\frac{t^2}{{1-{t^2}}}}=\sqrt{\frac{1}{{\frac{1}{t^2}-1}}}$．
∴当$t=\frac{1}{2}$，即$C=\frac{π}{2}$时，tan（A-B）取最大值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
解法二：由acosB-bcosA=$\frac{1}{2}$c，
得：$sinAcosB-sinBcosA=\frac{1}{2}sinC$=$\frac{1}{2}sin（A+B）=\frac{1}{2}（sinAcosB+cosAsinB）$，
整理得：sinAcosB=3cosAsinB，
即tanA=3tanB，
易得tanA＞0．tanB＞0，
∴$tan（A-B）=\frac{tanA-tanB}{1+tanAtanB}=\frac{2tanB}{{1+3{{tan}^2}B}}=\frac{2}{{\frac{1}{tanB}+3tanB}}≤\frac{2}{{2\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴当$\frac{1}{tanB}=3tanB$，即$tanB=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，$tanA=\sqrt{3}$，
∴$A=\frac{π}{3}，B=\frac{π}{6}，C=\frac{π}{2}$．
故答案为：$\frac{π}{2}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$（任对一空给3分）

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，基本不等式的应用，属于基本知识的考查．