Question

已知函数f（x）=ax²-3x+4+2lnx（a＞0）．
（Ⅰ） 当时，求函数f（x）在上的最大值；
（Ⅱ） 若f（x）在其定义域上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）当时，，
，
即f（x）在区间和（2，3]上单调递增；在区间[1，2]上单调递减．
∴，
所以函数f（x）在上的最大值为．
（Ⅱ），
因为f（x）在其定义域上是单调递增函数，
所以当x∈（0，+∞）时f'（x）≥0恒成立，
得2ax²-3x+2≥0恒成立，
因为a＞0，x=＞0，
所以△=9-16a≤0，
所以实数a的取值范围为．
分析：（I）将a的值代入f（x），求出导函数，求出函数的单调区间，得到函数的极值点，求出极大值及端点值f（3），选出最大值．
（II）先求出定义域，令导函数大于等于0在（0，+∞）上恒成立，由于对称轴在区间内，令判别式小于等于0，求出a的范围．
点评：求函数的最值时，一般通过导数求出函数的极值，再求出端点值，选出最值；解决函数的单调性已知求参数范围的题目，一般令导函数大于等于0或小于等于0在单调区间上恒成立．