Question

已知函数f（x）=

ax-1

ax+1

（a＞1）
（1）判断函数f（x）的奇偶性
（2）求f（x）的值域
（3）证明f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．

Answer 1

（1）f（x）的定义域为R，
f（-x）=

a-x-1

a-x+1

=

1-ax

1+ax

=-f(x)，
∴f（x）是奇函数．
（2）f（x）=

ax-1

ax+1

=

ax+1-2

ax+1

=1-

2

ax+1

．
∴a^x＞0，∴0＜

2

ax+1

＜2，
∴-1＜1-

2

ax+1

＜1，
∴f（x）的值域为（-1，1）
（3）设x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=

ax1-1

ax1+1

-

ax2-1

ax2+1

=

(ax1-1)(ax2+1)-(ax1+1)(ax2-1)

(ax1+1)(ax2+1)

=

2(ax1-ax2)

(ax1+1)(ax2+1)

∵a＞1，x₁＜x₂，∴ax1＜ax2
又∵ax1+1＞0，  ax2+1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．