Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AD=4，AB=2，PB=2

5

，PD=4

2

．E是PD的中点．
（1）求证：PB∥平面ACE；
（2）求证：AE⊥平面PCD；
（3）求PC与平面ACE所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连结BD，交AC于H，连结EH，由三角形中位线定理知EH∥PB，由此能证明PB∥平面ACE．
（2）由已知条件推导出PA⊥AD，PA⊥AB．从而得平面PAD⊥平面ABCD．再由CD⊥AD，得CD⊥AE．由此能证明AE⊥平面PCD．
（3）以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PC与平面ACE所成角的正弦值．

解答： （1）证明：连结BD，交AC于H，连结EH，
∵底面ABCD是矩形，∴H是BD中点，
又E是PD的中点，∴EH∥PB，
∵EH?平面ACE，PB不包含于平面ACE，
∴PB∥平面ACE．
（2）证明：∵PA²+AD²=4²+4²=32，
PD²=（4

2

）²=32，
∴三角形PAD是等腰直角三角形，∴PA⊥AD．
同理PA²+AB²=4²+2²=20，PB²=（2

5

）²=20，
∴三角形PAB是直角三角形，∴PA⊥AB．
又AD∩AB=A，∴PA⊥平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD．
∵底面ABCD是矩形，∴CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，∴AE?平面PAD，∴CD⊥AE．
∵E是PD的中点，三角形PAD是等腰直角三角形，
∴AE⊥PD．又PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD．
（3）解：如图，以A为原点，
AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴，
建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），C（2，4，0），
E（0，2，2），P（0，0，4），

AC

=（2，4，0），

AE

=（0，2，2），
设

n

=（x，y，z）是平面AEC的一个法向量，
则有

n • AC =x+2y=0 n • AE =y+z=0

，
令z=1得y=-1，x=2，即

n

=（2，-1，1），

PC

=(2，4，-4)，
设PC与平面ACE所成角为θ，
则sinθ=|cos＜

PC

，

n

＞|=|

4-4-4

6 × 36

|=

6

9

．
∴PC与平面ACE所成角的正弦值是

6

9

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．