Question

6．已知抛物线C：x²=2py（p＞0）过点（2，1），直线l过点P（0，-1）与抛物线C交于A、B两点，点A关于y轴的对称点为A′，连接A′B
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）问直线A'B是否过定点？若是，求长定点坐标；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用点的坐标在曲线上，代入求解即可．
（2）设直线l的方程为y=kx-1，又设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A'（-x₁，y₁），联立直线与抛物线方程，利用韦达定理以及判别式，求出直线的斜率，推出直线方程，利用直线系求解即可．

解答 解：（1）将点（2，1）代入抛物线x²=2py的方程得，p=2，
所以，抛物线C的标准方程为x²=4y．                   …（4分）
（2）设直线l的方程为y=kx-1，又设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A'（-x₁，y₁），
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}{x^2}}\\{y=kx-1}\end{array}}\right.$得x²-4kx+4=0，则△=16k²-16＞0，x₁•x₂=4，x₁+x₂=4k，
所以${k_{A'B}}=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-（-{x_1}）}}=\frac{{\frac{{{x_2}^2}}{4}-\frac{{{x_1}^2}}{4}}}{{{x_1}+{x_2}}}=\frac{{{x_2}-{x_1}}}{4}$，
于是直线A'B的方程为$y-\frac{{{x_2}^2}}{4}=\frac{{{x_2}-{x_1}}}{4}（x-{x_2}）$，…（8分）
所以，$y=\frac{{{x_2}-{x_1}}}{4}（x-{x_2}）+\frac{{{x_2}^2}}{4}=\frac{{{x_2}-{x_1}}}{4}x+1$，当x=0时，y=1，
所以直线A'B过定点（0，1）．     …（10分）

点评 本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系，直线系方程的应用，考查转化思想以及计算能力．