Question

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（8，-4），P（2，t）（t＜0）在抛物线y²=2px（p＞0）上．
（1）求p，t的值；
（2）过点P作PM垂直于x轴，M为垂足，直线AM与抛物线的另一交点为B，点C在直线AM上．若PA，PB，PC的斜率分别为k₁，k₂，k₃，且k₁+k₂=2k₃，求点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）运用代入法，即可求得p，t；
（2）求得M（2，0），求出直线AM的方程，代入抛物线方程，可得B的坐标，运用正弦的斜率公式，可得k₁=-$\frac{1}{3}$，k₂=-2，代入k₁+k₂=2k₃得k₃，进而得到直线PC方程，再联立直线AM的方程，即可得到C的坐标．

解答 解：（1）将点A（8，-4）代入y²=2px，
得p=1，
将点P（2，t）代入y²=2x，得t=±2，
因为t＜0，所以t=-2．                 
（2）依题意，M的坐标为（2，0），
直线AM的方程为y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{4}{3}$，
联立抛物线方程y²=2x，并解得B（$\frac{1}{2}$，1），
所以k₁=-$\frac{1}{3}$，k₂=-2，
代入k₁+k₂=2k₃得，k₃=-$\frac{7}{6}$，
从而直线PC的方程为y=-$\frac{7}{6}$x+$\frac{1}{3}$，
联立直线AM：y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{4}{3}$，
并解得C（-2，$\frac{8}{3}$）．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查方程的运用，注意联立直线方程和抛物线方程求交点，以及直线的斜率公式的运用和两直线的交点问题转化为解方程，属于中档题．