如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.
(1)求证:平面PAC⊥平面PBC;
(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角C?PB?A的余弦值.
(1)见解析 (2)
【解析】(1)由AB是圆的直径,得AC⊥BC,
由PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,得PA⊥BC.
又PA∩AC=A,PA?平面PAC,AC?平面PAC,
所以BC⊥平面PAC.又BC?平面PBC,
所以平面PBC⊥平面PAC.
(2)过C作CM∥AP,则CM⊥平面ABC.如图,
以点C为坐标原点,分别以直线CB,CA,CM为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
在Rt△ABC中,因为AB=2,AC=1,所以BC=.
因为PA=1,所以A(0,1,0),B(,0,0),P(0,1,1).
故=(,0,0),=(0,1,1).
设平面BCP的法向量为n1=(x1,y1,z1),
则所以
不妨令y1=1,则n1=(0,1,-1).
因为=(0,0,1),=(,-1,0),
设平面ABP的法向量为n2=(x2,y2,z2),则
所以
不妨令x2=1,则n2=(1,,0).
于是cos〈n1,n2〉==.
所以由题意可知二面角C?PB?A的余弦值为
科目:高中数学 来源:2014年高考数学(理)二轮复习专题提升训练训练8练习卷(解析版) 题型:选择题
已知向量a与b的夹角为120°,|a|=3,|a+b|=则|b| 等于( ).
A.5 B.4 C.3 D.1
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(理)二轮复习专题提升训练训练16练习卷(解析版) 题型:选择题
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线分别交于A,B两点,则的值等于( ).
A.5 B.4 C.3 D.2
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(理)二轮复习专题提升训练训练14练习卷(解析版) 题型:解答题
在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上.
(1)求圆C的方程;
(2)若圆C与直线x-y+a=0交于A,B两点,且OA⊥OB,求a的值.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(理)二轮复习专题提升训练训练14练习卷(解析版) 题型:选择题
已知圆(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心为抛物线y2=4x的焦点,且与直线3x+4y+2=0相切,则该圆的方程为( ).
A.(x-1)2+y2= B.x2+(y-1)2=
C.(x-1)2+y2=1 D.x2+(y-1)2=1
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(理)二轮复习专题提升训练训练13练习卷(解析版) 题型:选择题
已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于( ).
A. B. C. D.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(理)二轮复习专题提升训练训练12练习卷(解析版) 题型:填空题
如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC上一动点.现将△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足.设AK=t,则t的取值范围是________.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(理)二轮复习专题提升训练训练11练习卷(解析版) 题型:选择题
如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,沿BD将矩形ABCD折叠,连接AC,所得三棱锥A?BCD正视图和俯视图如图,则三棱锥A?BCD侧视图的面积为( ).
A. B. C. D.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(理)二轮复习专题提升训练优化重组卷4练习卷(解析版) 题型:选择题
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,底面是边长为2的等边三角形,侧棱长为3,则BB1与平面AB1C1所成的角为( ).
A. B. C. D.
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