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如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.

(1)求证:平面PAC平面PBC

(2)AB2AC1PA1,求二面角C?PB?A的余弦值.

 

(1)见解析 (2)

【解析】(1)AB是圆的直径,得ACBC

PA平面ABCBC?平面ABC,得PABC.

PAACAPA?平面PACAC?平面PAC

所以BC平面PAC.BC?平面PBC

所以平面PBC平面PAC.

(2)CCMAP,则CM平面ABC.如图,

以点C为坐标原点,分别以直线CBCACMx轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

RtABC中,因为AB2AC1,所以BC.

因为PA1,所以A(0,1,0)B(0,0)P(0,1,1)

(0,0)(0,1,1)

设平面BCP的法向量为n1(x1y1z1)

所以

不妨令y11,则n1(0,1,-1)

因为(0,0,1)(,-1,0)

设平面ABP的法向量为n2(x2y2z2),则

所以

不妨令x21,则n2(10)

于是cosn1n2〉=.

所以由题意可知二面角C?PB?A的余弦值为

 

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