Question

【题目】已知函数．

（1）证明：函数在上单调递增；

（2）若，，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题解析：（1）求导 ，判断其符号，可知函数在上单调递增；

（2）由（1）得在上单调递增，又，所以，分类讨论

（ⅰ）当时，成立．

（ⅱ）当时，

构造函数，利用导数讨论其单调性，可知时，．（*）

由（*）式可得，

令，求导

由（*）式可得 ，

令 ，得在上单调递增，研究函数的性质可知

存在 使得，即时，，

即时，，单调递减，又，所以，

即时，，与矛盾．

综上，满足条件的的取值范围是．

试题解析：

（1），

因为，所以，于是

（等号当且仅当时成立）．

故函数在上单调递增．

（2）由（Ⅰ）得在上单调递增，又，所以，

（ⅰ）当时，成立．

（ⅱ）当时，

令，则，

当时，，单调递减，又，所以，

故时，．（*）

由（*）式可得，

令，则

由（*）式可得，

令，得在上单调递增，

又，，所以存在 使得，即时，，

所以时，，单调递减，又，所以，

即时，，与矛盾．

综上，满足条件的的取值范围是．