Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=1，当x＞0时，有f（x）＞xf′（x）恒成立，则不等式f（x）＞x的解集是（　　）

• A、（-1，0）∪（1，+∞）
• B、（-∞，-1）∪（0，1）
• C、（-∞，-1）∪（1，+∞）
• D、（-1，0）∪（0，1）

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：令g（x）=

f(x)

x

，当x＞0时，g′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

＜0，可得函数g（x）在x＞0时单调递减，由f（x）＞x，即g（x）＞1，即可解得．当x＜0时，根据奇函数的对称性即可解得．

解答： 解：令g（x）=

f(x)

x

，
当x＞0时，g′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

＜0，
∴函数g（x）在x＞0时单调递减，
由f（x）＞x，可得

f(x)

x

＞1=

f(1)

1

，
∴0＜x＜1．
当x＜0时，根据奇函数的对称性，由f（x）＞x，解得x＜-1．
综上可得：不等式f（x）＞x的解集是（-∞，-1）∪（0，1）．
故选：B．

点评：本题考查了通过构造函数利用导数研究函数的单调性解不等式的方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．