Question

3．一汽车厂生产A、B、C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如表（单位：辆）：

	轿车A	轿车B	轿车C
舒适型	100	150	z
标准型	300	450	600

按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．
（1）求z的值；
（2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
（3）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：4、8.6、9.2、9.6、8.7、9.3、9.0、8.2，把这8辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．

Answer 1

分析 （1）利用分层抽样满足每个个体被抽到的概率相等，列出方程求出n，再利用频数等于频率乘以样本容量求出n的值，据总的轿车数量求出z的值．
（2）先利用分层抽样满足每个个体被抽到的概率相等，求出抽取一个容量为5的样本舒适型轿车的辆数，利用列举的方法求出至少有1辆舒适型轿车的基本事件，利用古典概型的概率公式求出概率．
（3）利用平均数公式求出数据的平均数，通过列举得到该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数据，利用古典概型的概率公式求出概率．

解答 解：（1）设该厂这个月共生产轿车n辆，
由题意得$\frac{50}{n}$=$\frac{10}{100+300}$，∴n=2000，…（2分）
∴z=2000-（100+300）-150-450-600=400．…（3分）
（2）设所抽样本中有a辆舒适型轿车，
由题意，得a=2．
因此抽取的容量为5的样本中，
有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．…（4分）
用A₁，A₂表示2辆舒适型轿车，用B₁，B₂，B₃表示3辆标准轿车，
用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，
则基本事件空间包含的基本事件有：
（A₁，A₂），（A₁B₁），（A₁B₂），（A₁，B₃，），（A₂，B₁），（A₂，B₂）（A₂，B₃），
（B₁B₂），（B₁，B₃，），（B₂，B₃），共10个，…（6分）
事件E包含的基本事件有：（A₁A₂），（A₁，B₁，），（A₁，B₂），（A₁，B₃），
（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₂，B₃），共7个，…（8分）
故P（E）=$\frac{7}{10}$，即所求概率为$\frac{7}{10}$．…（9分）
（3）样本平均数$\overline{x}$=$\frac{1}{8}$×（9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2）=9．…（10分）
设D表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对不超过0.5”，
则基本事件空间中有8个基本事件，…（11分）
事件D包括的基本事件有：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6个，…（13分）
∴P（D）=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$，即所求概率为$\frac{3}{4}$．…（14分）

点评 本题考查古典概型，考查用列举法来得到事件数，考查分层抽样，是一个概率与统计的综合题目，这种题目看起来比较麻烦，但是解题的原理并不复杂．