Question

12．已知数列{a_n}前n项和S_n=$\frac{1}{2}$n（n+1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}的通项公式为b_n=2ⁿ，求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）运用数列的通项和前n项和的关系：n=1时，a₁=S₁，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得到所求通项公式；
（2）运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求．

解答 解：（1）n=1时，a₁=S₁=1；
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$n（n+1）-[$\frac{1}{2}$（n-1）n]=n．
而n=1时，也满足该通项．
故综上可知：a_n=n；
（2）T_n=2+2•2²+…+n•2ⁿ
2T_n=2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n2ⁿ⁺¹，
两式相减得：
-T_n=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-n•2ⁿ⁺¹．
即-T_n=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹．
∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查数列的通项和前n项和的关系，同时考查数列的求和方法：错位相减法，以及等比数列的求和公式，属于中档题．