Question

4．设关于x的一元二次方程a_nx²-a_n+1x+1=0（n∈N^*）有两根α和β，满足α+β-αβ=2，且a₁=1
（1）试a_n用表示a_n+1；    
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）通过韦达定理可知$α+β=\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}$、$αβ=\frac{1}{a_n}$，利用α+β-αβ=2化简即得结论；
（2）通过对a_n+1=2a_n+1变形可知数列{a_n+1}是以首项、公比均为2的等比数列，进而计算可得结论．

解答 解：（1）∵α、β是a_nx²-a_n+1x+1=0（n∈N^*）的两根，
∴$α+β=\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}$，$αβ=\frac{1}{a_n}$，
又∵α+β-αβ=2，
∴$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}-\frac{1}{a_n}=2$，
∴a_n+1-1=2a_n，
∴a_n+1=2a_n+1；
（2）∵a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
又∵a₁=1，a₁+1=2，
∴数列{a_n+1}是以首项、公比均为2的等比数列，
∴${a_n}+1=2×{2^{n-1}}$，
∴${a_n}={2^n}-1（n∈{N^*}）$．

点评 本题考查数列的通项，涉及韦达定理等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．