Question

15．已知{a_n}是等差数列，a₁=2，公差d≠0，且a₁，a₂，a₄成等比数列
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=${2}^{{a}_{n}}$（n∈N^*），求（a_n+b_n）的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用等比数列的性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差d=2，进而得到所求通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b_n，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求．

解答 解：（Ⅰ）由a₁，a₂，a₄成等比数列得
2（2+3d）=（2+d）²，
又d≠0，解得d=2，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2+2（n-1）=2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b_n=2²ⁿ=4ⁿ，
a_n+b_n=2n+4ⁿ，
∴S_n=（a₁+b₁）+（a₂+b₂）+…+（a_n+b_n）
=（a₁+a₂+…+a_n）+（b₁+b₂+…+b_n）
=$\frac{n（2+2n）}{2}$+$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$
=n（n+1）+$\frac{4}{3}$（4ⁿ-1）．

点评 本题考查等差数列河等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，属于中档题．